Fondamenti della meccanica atomica
Affinchè questo sistema di equazioni lineari ed omogenee in c1, c2 ammetta soluzioni non nulle, deve aversi
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che esprime la completezza del sistema di autofunzioni yn (difatti, se si considerasse un sistema qualunque di funzioni ortogonali, sia pure infinito
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notare che la possibilità di separazione delle variabili è relativa al sistema di coordinate scelto: operando un cambiamento di coordinate (p. es., da
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(1) La forma della funzione che si addice a ciascun caso (ossia lo «stato» del sistema) dipende, come si vedrà meglio nel cap. II della parte III
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Il sistema ha quindi livelli energetici discreti, in tripla infinità, caratterizzati dai tre numeri quantici
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Essi costituiscono (essendo autofunzioni della (238)) un sistema di funzioni ortogonali nell'intervallo (— 1, + 1): non sono però normalizzati
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che si può esprimere così: le funzioni costituiscono un sistema ortogonale e normalizzato nell'intervallo da 0 a .
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con coefficienti interi. Quando vi siano g relazioni di questo tipo, il sistema dicesi g volte degenere: se il moto di un sistema a f gradi di
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Poichè un sistema meccanico può riferirsi a infiniti sistemi di coordinate lagrangiane, sorge la questione: se invece del sistema delle q, si adotta
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Nella trattazione dei sistemi degeneri vi è dunque una certa arbitrarietà nella scelta del sistema di coordinate: ci si lascia perciò guidare
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Ma se il sistema è degenere, non è più cosi: allora la separazione delle variabili è possibile anche in sistemi di coordinate essenzialmente
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Si chiama «rotatore» un sistema costituito da un corpo rigido girevole intorno ad un asse fisso, non soggetto a forze (o soggetto a forze di momento
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(convenientemente estesa per abbracciare un sistema siffatto).
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b) Condizioni di Sommerfeld. - Osserviamo che il sistema è doppiamente degenere (poichè le tre coordinate variano tutte con lo stesso periodo). Per
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(1) Si osservi che ha ancora il significato di momento angolare totale del sistema: perciò il quanto azimutale k conserva il suo significato .
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Si giunge alla stessa conclusione ricordando dalla teoria della relatività che, se rispetto ad un certo sistema di riferimento, che diremo fisso
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Ricordiamo perciò anzitutto dalla meccanica razionale (v. § 52) che l'energia E di un sistema multiplamente periodico si può esprimere nella forma
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dalle componenti di un vettore rispetto a un sistema di riferimento, alle componenti dello stesso vettore rispetto a un altro sistema di riferimento. Si
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È superfluo rilevare che le relazioni algebriche tra matrici conservano la stessa forma in qualunque sistema di riferimento: se p. es. nel primo
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Si è visto che un operatore , fissato un sistema, di assi (individuati dai versori nello spazio hilbertiano, è rappresentato da una matrice i cui
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(F simbolo di funzione analitica), si ha anche nel secondo sistema
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Si osservi che se è una matrice hermitiana, è tale anche la matrice che corrisponde ad essa in un qualsiasi altro sistema di riferimento: ciò si può
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e sia un sistema completo di autofunzioni , per cui
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Poichè le formano un sistema completo, qualunque funzione f si può sviluppare in serie delle , e quindi per qualunque f varrà
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Queste costituiscono un sistema di infinite equazioni lineari ed omogenee, nelle infinite incognite
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Per comprendere la natura di questo problema, si consideri dapprima il caso che si tratti di uno spazio ordinario a tre dimensioni: allora il sistema
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Per passare da un sistema di assi a un altro sistema si dovrà introdurre una «matrice di trasformazione» (continua) definita da (v. (33))
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Tornando al caso di un sistema isolato, si noti che, per eseguire su di esso un'osservazione qualunque, si deve necessariamente farlo reagire con un
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esterne, definendo lo stato del sistema in un dato istante t come lo stato in cui esso resterebbe se al tempo t cessasse l'azione esterna. Si capisce che
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Il vettore , considerato come funzione del tempo, caratterizza lo «stato» del sistema e verrà chiamato nel seguito «vettore di stato».
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sarà fatta fondandosi sull'analogia rilevata al § 19. Partiamo perciò dall'espressione classica dell'hamiltoniana di un sistema di N particelle in
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Ammetteremo ora che la del sistema soddisfi l'equazione seguente, generalizzazione dell'equazione temporale di Schrödinger, (v. (136) P. II):
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vale a dire: il sistema è in uno stato stazionario, e la sua energia è la somma delle energie delle singole particelle.
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possono paragonare alla trattazione della meccanica con l'uso di un particolare sistema di coordinate. E precisamente, nel caso della meccanica ondulatoria
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Consideriamo dapprima il sistema imperturbato, e diciamo l'hamiltoniana che lo caratterizza (distingueremo in genere con uno zero in alto le quantità
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L'equazione di Schrödinger relativa al sistema perturbato sarà, per lo stato stazionario n-esimo (chiamando (1) Si dovrebbe scrivere , e, più oltre
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Fissato un valore di i, dando a k i p valori 1, 2, ..., p, si ha da questa formula un sistema di p equazioni lineari ed omogenee nelle p incognite
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Ora, affinchè il sistema ammetta soluzioni non tutte nulle, bisogna che si annulli il determinante dei coefficienti, ossia dovrà essere
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Indichiamo, come prima, con le autofunzioni del sistema imperturbato, le quali hanno la forma
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L'energia del sistema (forza viva più energia potenziale) si può quindi esprimere in funzione della sola r, e risulta
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Questa invarianza va intesa nel modo seguente. Si consideri un secondo sistema di riferimento in moto traslatorio rettilineo e uniforme rispetto al
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Applichiamo ora i risultati del § precedente al caso di un sistema idrogenoide, cioè specializziamo la funzione U prendendo
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sistema completo di funzioni ortogonali: per avere un sistema completo si devono aggiungere le onde a energia cinetica negativa. Perciò, data
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Si abbia un sistema costituito di due particelle uguali (immerse in un campo assegnato) e indichiamo brevemente
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un sistema fondamentale di autofunzioni ad esso appartenenti, ortogonali tra, loro (v. § 6, p. II). È noto che ad esso si può sostituire un
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Se per ogni eventuale autovalore multiplo il sistema fondamentale di autofunzioni viene scelto nel modo descritto, si ottiene un sistema completo di
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Passiamo ora a considerare in generale gli stati possibili (anche non stazionari) per il sistema. Ammetteremo, come è fisicamente plausibile, non
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Dimostreremo ora che il sistema non può mai passare da uno stato simmetrico ad uno stato antisimmetrico o viceversa, e che, per conseguenza
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(2) Il nichel cristallizza nel sistema monometrico, ed il reticolo cristallino è cubico a facce centrate. Le facce di ottaedro hanno simbolo (111).
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È noto dall'algebra che questo sistema di equazioni omogenee ammette soluzioni non nulle solo se
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Accademia della crusca
